pengertian dan contoh negasi,konjungsi ,dijungsi dan implikasi

negasi, konjungsi, disjungsi,dan implikasi

A.    Pernyataan dan Negasinya

            Perhatikan contoh kalimat sehari-hari, “Ibukota Jawa barat adalah Bandung”, “12 adalah bilangan ganjil”, contoh yang pertama mempunyai nilai benar dan yang kedua mempunyai nilai salah. Kedua contoh tersebut hanya mempunyai satu nilai kebenaran. Benar saja atau salah saja. Kalimat yang menerangkan ini yang disebut pernyataan, Jadi pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus bernilai kedua-duanya. sebaliknya kalimat seperti “semoga anda lekas sembuh”, “tutup jendela itu!” merupakan kalimat yang tidak bernilai benar atau bernilai salah. Kalimat-kalimat seperti ini tidak dibicarakan dalam Inisiasi ini.

Selanjutnya kita hanya membicarakan masalah Pernyataan dan untuk menyingkat penulisan, suatu pernyataan diberi lambang alphabet kecil yaitu a, b, c dan seterusnya, sedangkan untuk nilai benar dan salah berturut-turut disingkat dengan B dan S.

Negasi suatu Pernyataan  adalah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar, dan bernilai benara apabila pernyataan semula bernilai salah. Apabila pernyataan kita beri symbol a maka negasi kita beri symbol ~a. jika ada pernyataan “Agus suka apel” diberi simbol a maka negasinya “Agus tidak suka apel “ diberi simbol ~a dan jika ada bernyataan “Dewi seorang Penyanyi “ diberi simbol b maka negasinya “Dewi bukan seorang penyanyi”.

Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berbeda

Tabel 1.1

Nilai Kebenaran dari Negasi

a	~a	~a(~a)
B	S	B
S	B	S

B.     Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk meupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung. Pernyataan yang dirangkai masing-masing disebut pernyataan tunggal. Kata penghubung dan simbol yang dimaksud dapat dilihat dari tabel 1.2

Tabel 1.2

Lambang (Simbol) Kata Penghubung

Kata Penghubung	Lambang
Dan	Λ
Atau	V
Jika-maka	Þ
Jika dan hanya jika	ó

1.      Konjungsi

Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “dan “ (Λ). Konjungsi dua pernyataan a dan b ( ditulis “a Λb” dibaca “a dan b” ) bernilai B(benar) jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B(benar), sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainya, “a Λ b” bernilai S(salah).

Contoh :

a = Surabaya adalah ibu kota Jawa Timur (B)

b= Semarang adalah ibu kota Jawa Tengah (B)

a Λb=Surabaya adalah ibu kota Jawa Timur dan Semarang adalah ibu kota Jawa Tengah (B)

a=3 adalah bilangan prima (B)

b=4 adalah bilangan ganjil (S)

a Λb=3 adalah bilangan prima dan 4 adalah bilangan ganjil (S)

Tabel 1.3

Nilai Kebenaran Konjungsi

a	B	a Λb
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

2.      Disjungsi

Pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “atau” (V) disebut disjungsi. Disjungsi pernyataan aVb (ditulis “aVb” dan dibaca “a atau b”) bernilai S jika dan hanya jika dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainya, “aVb” bernilai B

            a = Surabaya adalah ibu kota Jawa Tengah (S)

b= Semarang adalah ibu kota Jawa Timur (S)

a Vb=Surabaya adalah ibu kota Jawa Timur dan Semarang adalah ibu kota Jawa Tengah (S)

a=3 adalah bilangan prima (B)

b=4 adalah bilangan ganjil (S)

a Vb=3 adalah bilangan prima dan 4 adalah bilangan ganjil (B)

Tabel 1.4

Nilai Kebenaran Disjungsi

a	b	a Vb
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3.      Negasi dari Konjungsi dan Disjungsi

Konjungsi dan Disjungsi masing-masing merupakan suatu pernyataan . sehingga negasi dari konjungsi dan disjungsi mempunyai makna  yang sama dengan negasi suatu pernyataan. Oleh karena itu , nilai kebenaran dari negasi konjungsi dan disjungsi, harus berpadu pada aturan tentang nilai kebenaran dari konjungsi dan disjungsi.

Tabel 1.5

Nilai Kebenaran negasi dari Konjungsi

a	b	~a	~b	aΛb	~( aΛb)	~aV~b
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

Dengan melihat tabel 1.5 bahwa nilai kebenaran kolom ~( aΛb) sama dengan urutan nilai kebenaran kolom ~aV~b.  Maka dapat disimpulkan bahwa ~( aΛb)≡ ~aV~b. hal ini menunjukan negasi dari disjungsi dua pernyataan sama dengan disjungsi dari negasi masing-masing pernyataan tunggalnya.

Contoh : “Badu suka mangga dan Badu suka apel” negasinya menjadi “Badu tidak suka mangga atau Badu tidak punya apel” .

Tabel 1.6.

Nilai Kebenaran Negasi dari Disjungsi

a	b	~a	~b	aVb	~( aVb)	~aV~b
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

Dapat dilihat kolom ~( aΛb) sama dengan kolom ~aV~b, maka dapat disimpulkan bahwa ~( aΛb) ≡~aV~b. Negasi dari disjungsi dua pernyataan sama dengan konjungsi dari negasi pernyataan-pernyataan tunggalnya.

Contoh : “Badu suka mangga atau Badu suka apel” negasinya menjadi “Badu tidak suka mangga dan Badu tidak punya apel” .

Kegiatan belajar II

A.    Implikasi

Suatu implikasi aÞb bernilai S jika dan hanya jika pendahulunya bernilai B dan pengikutnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran pendahulu dan pengikutnya yang lain, implikasi itu bernilai B

 

Tabel 1.7

Nilai kebenaran Implikasi

a	b	aÞb	Keterangan baris ke-
B	B	B	1
B	S	S	2
S	B	B	3
S	S	B	4

Contoh dari suatu Implikas “ Jika Kamu naik kelas maka kamu bapak belikan sepeda”.  Pada Tabel 1.7 baris 1 dapat dilihat Kamu naik kelas dan kamu bapak belikan sepeda tentu saja bernilai benar karena sesuai dengan implikasi. Baris 2 Kamu naik kelas dan tidak dibelikan sepeda tentu saja salah tidak sesuai dengan implikasnya. Baris ke 3 Kamu tidak naik kelas dan tidak dibelikan sepeda tidak bertentangan dengan implikasi maka mempunyai nilai benar dan  baris 4 menyatakan kamu tidak naik kelas dan tidak dibelikan sepeda juga betul. Oleh karena itu pada implikasi juga bisa disimpulkan bahwa apabila pengikut suatu implikasi bernilai B maka implikasi itu bernilai B, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya.

B.     Negasi Suatu Implikasi

Dari keterangan diatas Negasi suatu implikasi dapat kita ambil dari baris 2, Anak tersebut naik kelas dan tidak dibelikan sepeda.

Tabel 1.8.

Nilai Kebenaran Negasi implikasi

a	b	~b	aÞb	~( aÞb)	aΛ~b
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	S

            Tampak pada tabel 1.8. bahwa urutan nilai kebenaran dari “~( aÞb)” sama dengan urutan nilai kebenaran dari “aΛ~b”. Hal ini dapat dikatakan bahwa negasi dari suatu implikasi adalah suatu konjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi itu bisa disimbolkan ~( aÞb) ≡ aΛ~b.

Beberapa contoh lain :

“Jika kamu belajar giat maka kamu akan naik kelas” negasinya “Kamu belajar giat dan kamu tidak naik kelas “

“Jika Ami datang kesini maka ami tidak sakit” negasinya “ Ami datang kesini dan Ami tidak sakit”.

C.     Konvers, Invers, dan Kontrapositif dari suatu Implikasi

Jika ada implikasi “aÞb” maka konversnya “bÞa”.  Contoh jika ada implikasi “Jika kamu naik kelas maka bapak belikan sepeda” konversnya menjadi “Jika bapak belikan sepeda maka kamu naik kelas”. Jika Invers kita negasikan dulu masing2 pernyataan dalam implikasi tersebut. Jadi implikasi diatas gabungan dari pernyataan “kamu naik kelas” kita negasikan  menjadi “kamu tidak naik kelas sedangkan pernyataan kedua “bapak belikan sepeda” kita negasikan menjadi “bapak tidak belikan sepeda”. Maka Invers dari implikasi tersebut menjadi “Jika kamu tidak nik kelas maka bapak tidak belikan sepeda”.  Atau dapat kita simbolkan sebagai berikut. Jika ada implikasi “aÞb” maka inversnya menjadi “~aÞ~b”

Dari suatu implikasi selain dibentuk konvers dan imversnya , dapat pula dibentuk  Implikasi baru yang lain. Seperti langkah Invers masing-masing pernyataan dinegasikan posisi juga ditukar tempatnya implikasi ini disebut kontrapositif, jadi kontrapositif dari implikasi “aÞb” menjadi “~bÞ~a”.

Tabel 1.9

Nilai Kebenaran dari Konvers, invers dan kontrapositif suatu implikasi

a	b	~a	~b	aÞb	bÞa	~aÞ~b	~bÞ~a
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

D.    Biimplikasi

Perhatikan implikasi “aÞb”, dan konversnya, yaitu “bÞa”. Dibentuk konjungsi antara implikasi dan konversnya tersebut, yaitu “(aÞb) Λ(bÞa)”. Menentukan nilai konjungsi ini jika diketahui nilai-nilai kebenaran dari a dan b dengan menyusun tabel nilai kebenaran (Tabel 1.10) sebagai berikut!

Tabel 1.10

Nilai kebenaran dari konjungsi (aÞb) Λ(bÞa)

a	b	aÞb	bÞa	(aÞb) Λ(bÞa)
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

Dari tabel 1.10 diatas kita dapat menyimpulkan nilai kebenaran dari “(aÞb) Λ(bÞa)” hanya  B apabila nilai kebenaran dari a sama dengan nilai kebenaran dari b, dan bernilai S apabila nilai kebenaran dari a dan b berbeda. Selanjutnya “(aÞb) Λ(bÞa)” ditulis menjari a<=> b dan disebut biimplikasi.

Contoh : kamu bapak belikan sepeda jika dan hanya jika kamu naik kelas (B) , Bagus menjadi presiden RI jika dan hanya jika ibukota Negara di Surabaya(B)

E.     Negasi dari suatu biimplikasi

Biimplikasi “a<=> b” adalah singkatan dari “(aÞb) Λ(bÞa)” maka

~( a<=> b)= ~[(aÞb) Λ(bÞa)]

                 = ~(aÞb)V~(bÞa)           (negasi konjungsi)

                 = (a Λ~b)V(b Λ~a)            (negasi implikasi)

Tabel 1.11

Nilai kebenaran dari Implikasi dan Negasinya

a	b	~a	~b	a<=> b	a Λ~b	b Λ~a	~ a<=> b	(a Λ~b)V(b Λ~a)
B	B	S	S	B	S	S	S	S
B	S	S	B	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	S	B	B	B
S	S	B	B	B	S	S	S	S

Contoh : Bayu dibelikan sepeda jhj Bayu naik kelas, negasinya Bayu dibelikan Sepeda dan Bayu tidak naik kelas atau Bayu naik kelas dan tidak dibelikan sepeda.

Kegiatan Belajar 3

Argumen

A.    Tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya.

Beberapa contoh tautologi :

“Bayu suka kopi” bernilai B kita simbolkan a, berarti kalau kita negasikan menjadi “Bayu tidak suka kopi” bernilai S kita simbolkan ~a. jika kita disjungsikan aV~a selalu bernilai B.

\

Contoh lain :

Tabel 1.12

p	q	~p	p Λ~p	(p Λ~p) Þ(pVq)
B	B	S	S	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Beberapa contoh tautology yang lain bisa kalian periksa kebenaranya (p Λq) Þ(pVq), [(pÞq) Λp] Þq, [(pÞq) Λ~q] Þ~p.

Perhatikan bahwa pendahulu dari tiap-tiap tautologi implikatif itu merupakan konjungsi. Tiap pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal dalam pendahulu ini disebut premis argument, sedangkan pengikut dari tautologi implikatif itu disebut kesimpulan, Selanjutnya, argument yang abash yang dibentuk dari tautologi implikatif itu disusun sebagai berikut.

1.      Susunan argumen menurut modus ponens

pÞq                            (premis)

p                                  (premis)

. . q                              (kesimpulan)

Contoh :

 Jika Ardi belajar giat maka Ardi naik kelas

Ardi belajar giat

. .  Ardi naik kelas

2.      Susunan argumen menurut modus tollens

pÞq                            (premis)

    ~q                            (premis)

      .. ~p                             (kesimpulan)

      Contoh :

     

      Jika Adi seorang musikus maka Adi punya gitar

      Adi tidak punya gitar

            .. Adi bukan seorang musikus

3.      Susunan Argumen menurut tollendo ponens

pVq                             (premis)

~p                                (premis)

            .. q                               (kesimpulan)

            Contoh :

            Siang ini ibu pergi ke pasar atau ibu pergi ke rumah nenek

            Siang ini ibu tidak pergi ke pasar

           

.. Siang ini ibu pergi ke rumah nenek

4.      Susunan argumen menurut aturan Silogisme

pÞq                            (premis)

qÞr                             (premis)

..  pÞr                         (kesimpulan)

Contoh :

Jika Budi rajin belajar maka budi naik kelas

Jika Budi naik kelas maka dibelikan sepeda

Jika Budi rajin belajar maka dibelikan sepeda

Untuk membuktikan apakah keempat susunan argumen tersebut tautologi kita bisa menggunakan tabel nilai kebenaran. Pada inisiasi ini tuton akan membuktikan modus pon en. Untuk pembuktian yang lain bisa kalian coba masing-masing.

Tabel 1.13

Bukti Tautologi Modus Ponens

p	q	pÞq	(pÞq) Λp	[(pÞq) Λp] Þq
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	S
S	S	B	S	B

Jawablah Pertanyaan di bawah ini :
1. Tuliskan negasi dari " Jika kamu naik kelas maka bapak belikan sepeda"

Jika kamu naik kelas maka bapak tidak membelikan sepeda

2. Tuliskan dari negasi " Semua mahasiswa UT disiplin"

Tidak Semua Mahasiswa UT disiplin

3. Berikan contoh suatu silogisme

premis 1 : p -> q
premis 2 : q -> r
conclusion : p ->r

contohnya:

jika sudah malam maka kita tidur.
jika kita tidur maka kita bermimpi
kesimpulannya: jika sudah malam maka kita bermimpi.

Available from:	Sabtu, 22 Oktober 2011, 10:20
Tanggal penyelesaian:	Sabtu, 29 Oktober 2011, 10:20

Anda login sebagai DESI GUSWITA 822544788. (Keluar)

1. Diketahui :

    a = Kamu naik kelas                  ~a = Kamu tidak naik kelas

    b = Bapak belikan sepeda          ~b = Bapak tidak belikan sepeda

a	b	~b	a => b	~( a =>b )	aΛ~b
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	S